半生（bàn shēng）的意思：指人生的一半时间，比喻经历或经验丰富。

常存（cháng cún）的意思：永远存在；长久保持

大星（dà xīng）的意思：指某个人在某个领域或方面的地位或能力非常突出，是该领域的翘楚。

代下（dài xià）的意思：代替下来，接替下来。

东南（dōng nán）的意思：指东南方向。

建业（jiàn yè）的意思：指建设国家、社会或企业等的基业，也可指为人民谋福祉的事业。

教忠（jiào zhōng）的意思：教育使人忠诚，教导忠诚。

梁木（liáng mù）的意思：指支撑和承重的关键部分。

三代（sān dài）的意思：指祖父、父亲和子孙三代人。

生来（shēng lái）的意思：指天生、自然具备某种品质或特点。

完人（wán rén）的意思：指品德高尚、完美无缺的人。

正气（zhèng qì）的意思：正气指的是人的品德高尚，行为端正，正直无私。

知遇（zhī yù）的意思：指得到他人的赏识、关心和帮助。

此联高度赞扬了彭玉麟先生的高尚品德与卓越功绩。上联“三代下无此完人”开篇即表达了对彭玉麟先生道德品质的高度肯定，认为在历史的长河中，他是一位难得的完人，不仅不贪恋权力和财富，更保持着正直的气节，其在东南地区建立的伟业无人能及。

下联则回顾了彭玉麟先生的一生，表达了对其知遇之恩的感激以及对其逝世的深切哀悼。“半生来忝邀知遇”表明了作者与彭玉麟先生之间的深厚情谊，以及对先生提携之恩的铭记。同时，“或教忠，或教孝”则体现了彭玉麟先生在教育和引导后辈时的深远影响，强调了他的道德教育理念。最后，“大星遽陨”形象地描绘了彭玉麟先生去世的消息传来时的震惊与痛惜之情，“同悲梁木我尤深”则表达了作者对彭玉麟先生离世的个人哀痛，以及对这位伟大人物的深切怀念。

整体而言，这副挽联通过简洁而富有情感的语言，既展现了彭玉麟先生的个人魅力与历史贡献，也表达了对他的崇高敬意与深切哀思。