版图（bǎn tú）的意思：指一个国家或领域的疆界、边界。

北平（běi píng）的意思：北平是指北方的平原地区，也指平和安宁的状态。

东阁（dōng gé）的意思：指官员之间互相勾结、串通，共同进行腐败、贪污等不法活动。

多寿（duō shòu）的意思：长寿、寿命长

甲子（jiǎ zǐ）的意思：甲子是指中国传统的六十甲子纪年法中的一个单位，也表示六十年的周期。在成语中，甲子常用来表示长时间、久远的意思。

年甲（nián jiǎ）的意思：指年纪已经很大，年老体弱。

十年（shí nián）的意思：指时间长久，表示时间的长短。

元臣（yuán chén）的意思：元臣是一个由两个汉字组成的成语，其中“元”指代元朝，表示朝代的名称，“臣”指代朝廷的官员或臣子。整个成语的基本含义是指在元朝担任官职的臣子。

杖朝（zhàng cháo）的意思：用拐杖支撑着走路

此联以宏阔的视角，赞美了张百熙的长寿与卓越成就。上联“综四万里版图，北平计相原多寿”将张百熙比作能治理辽阔疆域的宰相，强调其长寿与智慧，寓意深远。下联“在二十年甲子，东阁元臣正杖朝”则进一步赞扬张百熙作为朝廷重臣，在东阁主持政务时的威严与权威，同时“正杖朝”三字形象地描绘出他年高德劭、威仪不减当年的风采。

整体而言，这副对联不仅表达了对张百熙个人品德与功绩的高度赞誉，也体现了清代社会对于官员德才兼备、老当益壮的普遍价值观。通过巧妙的辞藻和历史典故的运用，既展现了对张百熙的崇高敬意，也蕴含了对国家繁荣昌盛的美好祝愿。