层云（céng yún）的意思：形容云层密集、层次分明的样子。

处处（chǔ chù）的意思：处处意指“到处、各处”，表示某事物或某种情况在各个地方都存在或普遍存在。

积雨（jī yǔ）的意思：指雨水连绵不断地下，积聚成水。

开卷（kāi juàn）的意思：指开始阅读一本书或翻开书籍的动作，也比喻开始学习或研究一门学问。

鸣鸠（míng jiū）的意思：指两个人互相呼唤，彼此相思的意思。

日出（rì chū）的意思：太阳从地平线升起，代表新的一天开始。

失群（shī qún）的意思：指群体中有人或动物离开原本的群体，与其他成员分离。

园林（yuán lín）的意思：指花园、公园等园林景观。

这首诗描绘了诗人身处蓟州公署，遭遇久雨不晴的情景下，内心情感与外在环境的交织。首句“积雨园林润”，以细腻的笔触展现了雨水滋润后的园林景象，生机勃勃，充满自然之美。接着，“鸣鸠处处闻”一句，通过远处的布谷鸟叫声，进一步渲染了雨后宁静而略带生机的氛围。

“拨愁开卷读，避湿炷香焚”两句，直接表达了诗人在雨天的消遣方式——阅读和焚香，以此来排解内心的愁绪。这里的“开卷”不仅指打开书籍，也暗示了在雨中寻求心灵慰藉的方式，而“炷香焚”则体现了古人对香道的热爱，以及借此寄托情感的习俗。

“傍砌花应瘦，归巢鸟失群”描绘了雨水对自然环境的影响，花朵因雨水的持续而显得有些憔悴，鸟儿们也失去了往日成群结队的热闹。这两句通过自然界的细微变化，反映了诗人对时局或个人境遇的担忧与感慨。

最后，“闭阴谁有术，推日出层云”表达了诗人对于打破阴霾、迎来光明的渴望。这里的“闭阴”既指现实中的阴雨天气，也暗喻了心中的阴郁情绪，而“推日出层云”则是对摆脱困境、重见天日的向往，充满了积极向上的精神。

整体而言，这首诗通过细腻的观察和丰富的联想，展现了诗人面对自然与生活挑战时的复杂心情，既有对自然美景的欣赏，也有对内心情感的深刻挖掘，体现了明代文人独特的审美情趣和人文关怀。