长空（cháng kōng）的意思：指天空辽阔广袤，没有边际的样子。

春风（chūn fēng）的意思：形容人在顺利、得意的时候的心情愉快。

帝城（dì chéng）的意思：帝王的都城，指帝王所居住的城市。

定远（dìng yuǎn）的意思：稳定远离危险。

断鸿（duàn hóng）的意思：指鸿雁断绝，形容友情或亲情的断绝。

浮云（fú yún）的意思：比喻虚幻、不真实的事物或情感。

耿耿（gěng gěng）的意思：形容心思纯正、忠诚坚定。

功名（gōng míng）的意思：

[释义]
(名)封建时代指科举称号或官职名位。
[构成]
并列式：功＋名
[例句]
求取功名。（作宾语）

故国（gù guó）的意思：指自己出生或长大的地方，故乡。

归梦（guī mèng）的意思：指回忆过去的梦境或回忆往事。

鸿声（hóng shēng）的意思：指声音宏大、洪亮，有吸引力和感染力的声音。

蓟门（jì mén）的意思：指门庭草木繁盛的样子，形容景象美丽、繁华的样子。

积雪（jī xuě）的意思：指积聚的雪，比喻长时间积累的事物。

就功（jiù gōng）的意思：指立即就能取得成就或功绩，不需要经过长时间努力。

客舍（kè shè）的意思：指待客之处，旅客住宿的地方。

亲庭（qīn tíng）的意思：指家庭和睦、亲近和睦的家庭。

沙漠（shā mò）的意思：沙漠指干旱贫瘠的荒漠地带，也可比喻人心冷漠、无情。

他乡（tā xiāng）的意思：指离开自己的家乡，到别的地方生活或工作。

乡客（xiāng kè）的意思：指来自乡下的客人，也指在外地的乡亲。

晓日（xiǎo rì）的意思：指黎明时分的太阳，比喻新的希望和未来的曙光。

佣书（yōng shū）的意思：指雇佣的人或机构提供的书籍。

这首诗描绘了作者在甲子元日清晨对京城景象的观察与感慨。首联“长空耿耿断鸿声，晓日春风满帝城”以“长空”、“断鸿声”、“晓日”、“春风”等意象，勾勒出一幅清冷而生机勃勃的早春图景，晨曦初照，春风拂面，京城沉浸在新的一年的希望之中。

颔联“沙漠浮云千树敛，蓟门积雪万家明”则通过对比手法，将京城的繁华与远方的辽阔景象相映衬。沙漠中的浮云被收拢，蓟门的积雪照亮万家灯火，既展现了自然界的壮丽景色，也隐喻了作者对远方的思念和对家乡的深情。

颈联“他乡客舍南归梦，故国亲庭北望情”直接抒发了作者身处异乡的思乡之情。南归的梦境与北望故乡的情怀形成鲜明对比，表达了作者对家乡亲人深切的思念。

尾联“自笑谁如班定远，佣书犹得就功名”则是作者自我反思与激励的表达。以汉代名将班超自比，虽身在异乡，却仍怀有建功立业的雄心，即使只是从事抄写文书的工作，也不放弃追求功名的机会。这一联既体现了作者的志向高远，又蕴含着对现实处境的无奈与自我调侃。

整体而言，这首诗通过细腻的景物描写和深沉的情感抒发，展现了作者在新年之际对家乡的思念、对未来的期许以及对个人命运的深刻思考。