百岁（bǎi suì）的意思：形容人长寿，活到一百岁。

沧海（cāng hǎi）的意思：比喻时间的变迁和世事的更迭。

朝廷（cháo tíng）的意思：指国家政权的中心，也可以指官方机构或政府。

东渐（dōng jiān）的意思：指东方的力量向西方扩张，特指中国古代文化的东传西渐。

笃生（dǔ shēng）的意思：笃生是一个古代汉语成语，意为忠诚奉献、恪守职责。

古来（gǔ lái）的意思：指古代以来，历史长久的意思。

见几（jiàn jǐ）的意思：看到多少就有多少，形容事物的数量与所见相符。

将相（jiàng xiàng）的意思：指将帅、相国等高级军事或政治职位。

竭忠（jié zhōng）的意思：竭尽全力忠诚地为某人或某事物服务。

流沙（liú shā）的意思：比喻难以逃脱的危险或困境。

名世（míng shì）的意思：指在世间有名声、有声望。

三十（sān shí）的意思：指男子到了三十岁时，应该有了自己的事业和立足之地。

师儒（shī rú）的意思：指师父和学生之间的关系，师父教导学生，学生虚心向师父学习。

十年（shí nián）的意思：指时间长久，表示时间的长短。

枢机（shū jī）的意思：指重要的中心或关键的角色。

五百（wǔ bǎi）的意思：指数量较大，形容数量众多。

忠悃（zhōng kǔn）的意思：指忠诚、忠实、忠心耿耿的意思。

中兴（zhōng xīng）的意思：指国家、民族或组织在困难时期经历挫折后重新崛起，兴盛发展的意思。

此联高度赞扬了左宗棠对国家的忠诚与贡献。上联“竭忠悃以报朝廷，东渐沧海，西被流沙，三十年业佐中兴，公独为其难者”描绘了左宗棠为国家鞠躬尽瘁，不仅在东方拓展疆土，直至大海之滨，西方则深入流沙之地，其功勋卓著，尤其在国家复兴的关键时期，他独自承担起最为艰巨的任务。

下联“由师儒而登将相，入赞枢机，出持旋钺，五百岁笃生名世，古来曾见几人”则展现了左宗棠从教书先生成长为国家重臣的过程。他既能在中枢决策中发挥重要作用，又能亲自执掌兵权，对外征战。五百年的历史长河中，像他这样既能文又能武，且一生留下赫赫声名的人物实属罕见。

整联通过对比和铺陈的手法，不仅赞美了左宗棠的丰功伟绩，也表达了对其卓越才能和忠诚精神的高度敬仰。