本朝（běn cháo）的意思：指当前的朝代或时代。

调和（tiáo hé）的意思：指调节不同事物之间的矛盾，使其相互协调、和谐。

东亚（dōng yà）的意思：指东方亚洲地区。

功首（gōng shǒu）的意思：功劳首功的意思，指首要功劳。

古稀（gǔ xī）的意思：指人到了六十岁的高龄。

过渡（guò dù）的意思：指从一种状态或情况转变到另一种状态或情况的过程。

进步（jìn bù）的意思：指事物朝着更好的方向发展，取得积极的进展或提升。

旷世（kuàng shì）的意思：指罕见、非凡、超越一般的世间所见所闻。

培育（péi yù）的意思：培育是指通过努力、照顾和教导，使事物得到良好的成长和发展。

时机（shí jī）的意思：

[释义]
(名)具有时间性的机会(多指有利的)。掌握~|错过~。(作宾语)
[构成]
偏正式：时（机
[同义]
火候
[同音]
石鸡

学制（xué zhì）的意思：学制是指学校或教育机构的组织形式和规定，包括教学计划、课程设置、学生管理等方面的制度。

淹贯（yān guàn）的意思：形容人或事物充满了某种情感或事物，无法自拔。

元功（yuán gōng）的意思：指功劳或成就的根本或基础。

中西（zhōng xī）的意思：指中国和西方文化之间的交流和融合。

作本（zuò běn）的意思：指以正直、诚实为根本，做人做事要有良好的道德品质。

此挽联高度赞扬了张百熙在晚清时期对国家教育事业的巨大贡献。上联“际东亚过渡时机，釐定学制，培育人材，强汉应为元功首”指出张百熙在东亚社会转型的关键时刻，他制定了新的教育制度，培养出了大量的人才，对于强盛汉民族起到了奠基作用。下联“作本朝进步党长，淹贯中西，调和新旧，论古稀逢旷世才”则进一步肯定了张百熙作为本朝进步党的领袖，他博通中西文化，能够调和传统与现代，这样的才能在古代罕见，堪称旷世奇才。

整体而言，这副挽联不仅表达了对张百熙个人成就的高度评价，也体现了其在推动社会进步、教育改革方面的深远影响，是对一位杰出教育家和改革家的崇高敬意。